IOL2017-1 ビロム語解説
ふるほむです!今回は数式系の問題です。
問題
IOL2017-1 Birom (ビロム語) by Milena Veneva
http://www.ioling.org/booklets/iol-2017-indiv-prob.ja.pdf
難易度
やや難(40~60分)
使う情報
- 11個の等式(問題bを含む)
- (b) 3個の数
- 「この問題のすべての数は0より⼤きく125より⼩さい」
ポイント
- 先入観を入れずに構造から攻めよう
- 候補が絞れるところを探そう
- 底が分かれば一気に進む
解説
数式系の問題は半分は言語学, 半分はパズル(覆面算)です。覆面算も楽しいので調べてみてね。
前提を確認しよう
暗黙の了解として二つの強い傾向があります。
この先で基本数(≈一桁の数)と底(=位取りの数)という用語を使います。詳しくは現代日本語を例にした説明*3をお読みください。
今回はさらにもう一つ前提があります。
- 「この問題のすべての数は0より⼤きく125より⼩さい。」
構造を整理しよう
実際に数をあてはめてみる前に, 表現のパターンを整理しましょう。大きく分けて3種類のパターンがあります。
- 一単語 (1. tùŋūn など)
- kūrū ná vɛ̀ ~ (9. kūrū ná vɛ̀ tùŋūn など)
- bākūrū bī~ ná vɛ̀ ~ (2. bākūrū bītīīmìn ná vɛ̀ ʃāātàt など)
~には一単語で出るものが入ります。1のような単純な表現は基本数(1,2,3…)か底の累乗数であり, 2, 3のような複雑な表現はそれらの組み合わせでしょう。また3は基本数が二つあることから二桁の数だと予想できます。さらにb問題の bākūrū bītāt を手がかりに, bākūrū bī~ が二桁目で ná vɛ̀ が "+, and" だと考えられます。2, 3 の共通点から kūrū が底の累乗数であり, kūrū は係数1の位で bākūrū は係数が2以上の位に出ると分かります(つまり bākūrū は kūrū の複数形)。なおこの分析に従うと 1 を表す要素は bākūrū bī~ のところにはでてきません。またここで kūrū がよく分からなくても後々で問題bの式Bを解けば分かります。
イメージ重視で直訳すると
- 一 > 1
- 十と一 > 11
- 十が二つと一 > 21
のようになっているということです。
語彙リストを作ろう
全体像を把握するために何の数を表すかは一旦置いておいて, 出てくるすべての語を列挙しましょう。余裕があれば基本数か, 底の累乗数か, それ以外(機能語)か構造を頼りに分類しておきましょう。翻訳課題の方もデータであることに注意してください。
さらにこうすると似たような語があることやほぼ同じ語でも微妙な違いがあることに気づけます。ʃāātàt, ʃāāgwīnìŋ, tàt, gwīnìŋ を見るに, ʃāā- という派生接辞があることが分かります。また ʃāābītāt から ʃāā- は bī- の前につくことが分かります。ná gwɛ は ná vɛ と何が違うのでしょう?(解説では最後の方で考えてあります)
他にも単独で出る基本数と bī- がついて出る基本数を見比べると声調(母音の上についている記号)が若干違うことが分かります。表にしてみましょう。
単独 | bī- ~ |
---|---|
tùŋūn | bītūŋūn |
tàt | bītāt |
nààs | bīnāās |
tàāmà | bītāāmà |
bà | bībā |
tìīmìn | bītīīmìn |
rwīīt | |
gwīnìŋ | |
ʃāātàt | ʃāābītāt*4 |
ʃāāgwīnìŋ |
よって bī- がつくと一音節目の声調が中平板 ¯ になると分かります。
語の内部構造や語形変化のような言語形式の分析は意味の分析より精度が高いのでどんどんしていきましょう。こういった分析をまあまあ進めてから数をあてはめると比較的すんなり解けると思います。
パズルを解こう
言語学的な分析が大体終わったのであとはパズルの時間です!共通点や候補が絞れるところを探しましょう。コツはとにかく色々試してみることです。最初に気になりそうなところをリストアップしてみました。
- 1と6の右辺が同じ
- 9は両辺の kūrū を相殺できる
- 4の式 ʃāātàtgwīnìŋ = ʃāātàt
- 前提の「この問題のすべての数は0より⼤きく125より⼩さい」ことからそもそも「~の~乗」が限られている
- 2と8には tàtnààs と nààstàt があるのでさらに絞れそう
よって上三つからは
- tùŋūn2 + tàt + nààs = bàtùŋūn
- nààs + ʃāātàt = tìīmìn + bà + tùŋūn
- gwīnìŋ =1 または ʃāātàt =1 (∵前提より0を表す数はない)
ʃāātàt は問題bの式Aに bī- がついた形 ʃāābītāt が出てくることや, 派生接辞がついている点, 7の式が表す数の大きさ的におそらく1ではないと推測できるため gwīnìŋ =1
が分かります。
それからありうる「~の~乗」は以下ですべてです。(分けた上側の表は tàtnààs と nààstàt のようにひっくり返しても成立する範囲) (環境によっては隠れちゃってるかもしれませんが2は26まであります。)
21 | 22 (=4) | 23 (=8) | 24 (=16) | 25 (=32) | 26 (=64) |
31 | 32 (=9) | 33 (=27) | 34 (=81) | ||
41 | 42 (=16) | 43 (=64) | |||
51 | 52 (=25) | ||||
61 | 62 (=36) |
71 | 72 (=49) |
81 | 82 (=64) |
91 | 92 (=81) |
101 | 102 (=100) |
111 | 112 (=121) |
8. nààstàt = bākūrū bītūŋūn ná vɛ̀ nààs は一の位にも nààs が出てくるので候補が絞りやすそうです。ここに代入して考えてみましょう。その前にちょっとひねりをきかせて nààs を両辺から引いて, nààstàt - nààs = bākūrū bītūŋūn で考えると右辺は底 × 基本数なのでそれなりに大きく, 切りのいい数でなければ違うと言えてうれしいです。
nààstàt の横に nààstàt - nààs を()に入れて全通り考えてみました。
21 (0) | 22 (2) | 23 (6) | 24 (14) | 25 (30) | 26 (62) |
31 (0) | 32 (6) | 33 (24) | 34 (78) | ||
41 (0) | 42 (12) | 43 (60) | |||
51 (0) | 52 (20) | ||||
61 (0) | 62 (30) |
多くの場合異なる表現は異なる数字を表すということも考慮しましょう。nààs, tàt, tùŋūn はすべて違う数になってほしいです(さらに gwīnìŋ =1 なので1でもありません)。またふつう底は基本数より大きいです。
たとえば試しに nààstàt = 24 だとすると bākūrū bītūŋūn = 14 なので (tùŋūn, kūrū) は (2, 7) または (7, 2) になりますが nààs = 2 と仮定しているので矛盾し nààstàt ≠ 24 と分かります。
今度は nààstàt = 34 としてみましょう。bākūrū bītūŋūn = 78 なので (tùŋūn, kūrū) = (2, 39), (39, 2) となります。被りはないですが, 39進法というのは微妙です。これはあとでちゃんと否定できます。
色々試していくと bākūrū bītūŋūn がうれしい値になる nààstàt は 25 (10×3), 43 (10×6, 12×5), 62 (10×3) ぐらいに絞れます。
nààs, tàt, tùŋūn の関係がかなり絞れたので今度は先ほど導いた tùŋūn2 + tàt + nààs = bàtùŋūn に代入してみましょう。
nààstàt = 25, (kūrū, tùŋūn) = (10, 3) のとき
32 + 5 + 2 = bà3
⇔ 16 = bà3
bà が整数にならないので違うnààstàt = 43, (kūrū, tùŋūn) = (10, 6) のとき
62 + 3 + 4 = bà6
⇔ 43 = bà6
bà が整数にならないので違うnààstàt = 43, (kūrū, tùŋūn) = (12, 5) のとき
52 + 3 + 4 = bà5
⇔ 32 = bà5
bà = 2 で成立!nààstàt = 62, (kūrū, tùŋūn) = (10, 3) のとき
32 + 2 + 6 = bà3
⇔ 17 = bà3 bà が整数にならないので違うnààstàt = 34, (kūrū, tùŋūn) = (39, 2) のとき
22 + 4 +3 = bà2
⇔ 11 = bà2
bà が整数にならないので違う
よって nààstàt = 43, (kūrū, tùŋūn) = (12, 5) が確定しました!どうやらこの言語は 12 をかたまりとして見ているようです。分かった数を語彙リストに書き加えましょう。
数詞(基本数) | 表す数 |
---|---|
tùŋūn | 5 |
tàt | 3 |
nààs | 4 |
tàāmà | |
bà | 2 |
tìīmìn | |
rwīīt | |
gwīnìŋ | 1 |
ʃāātàt | |
ʃāāgwīnìŋ |
分かった数詞を他の式に代入してこの表を埋めましょう。
1. tùŋūn2 + tàt + nààs = bākūrū bībā ná vɛ̀ rwīīt
⇔ 52 + 3 + 4 = 12 × 2 + rwīīt
∴ rwīīt = 85. rwīīt2 + bà + tùŋūn = bākūrū bītūŋūn ná vɛ̀ ʃāāgwīnìŋ
⇔ 82 + 2 + 5 = 12 × 5 + ʃāāgwīnìŋ
∴ ʃāāgwīnìŋ = 119. kūrū ná vɛ̀ nààs + kūrū ná vɛ̀ ʃāātàt = kūrū ná vɛ̀ tìīmìn + bà + kūrū ná vɛ̀ tùŋūn
⇔ nààs + ʃāātàt = tìīmìn + bà + tùŋūn (kūrū × 2を両辺から引いた; ふつうに代入しても良い)
⇔ 4 + ʃāātàt = tìīmìn + 2 + 5
∴ ʃāātàt = tìīmìn + 32. tàtnààs = bākūrū bītīīmìn ná vɛ̀ ʃāātàt
⇔ 34 = 12 × tìīmìn + ʃāātàt
⇔ 81 = 12 × tìīmìn + ʃāātàt
∴ (tìīmìn, ʃāātàt) = (6, 9)
※ʃāātàt < kūrū や他の数詞が既に5以下を表していること, 式9から導ける tìīmìn, ʃāātàt の差などが根拠7. ʃāātàt2 + nààs + tàt = bākūrū bītāāmà ná vɛ̀ nààs
⇔ 92 + 4 + 3 = 12 × tàāmà + 4
∴ tàāmà = 7
表を埋めて並び替えてみました。
数詞(基本数) | 表す数 |
---|---|
gwīnìŋ | 1 |
bà | 2 |
tàt | 3 |
nààs | 4 |
tùŋūn | 5 |
tìīmìn | 6 |
tàāmà | 7 |
rwīīt | 8 |
ʃāātàt | 9 |
ʃāāgwīnìŋ | 11 |
問題b, cも解きながら残る謎について考えましょう。
- 10 はどう表現する?問題cに22 (12+10 と表現されるはず) が出てくるので考えないといけない。
- ʃāā‐ の役割は?
- ná gwɛ は?
形から分析したいので一つ目は飛ばして二つ目の ʃāā‐ の役割について考えてみましょう。1 につけると 11 に, 3 につけると 9 になります。ヒントは「十時五分前」「残り3%」のような表現です。
これは(底に)「~足りない」という表現でしょう。12に1足りない>11, 12に3足りない>9 というわけです。ついでに10は ʃāābà と分かります。
ná gwɛ が出てくる表現も見てみましょう。AとBに出てきます (kūrū ná gwɛ̄ gwīnìŋ と bākūrū bīnāās ná gwɛ̄ gwīnìŋ)。 解説の都合上Bを見ます。
B. bākūrū bīnāās ná gwɛ̄ gwīnìŋ − kūrū ná vɛ̀ bà − kūrū ná vɛ̀ tàt = kūrū ná vɛ̀ rwīīt
⇔ bākūrū bīnāās ná gwɛ̄ gwīnìŋ − [12 + 2] − [12 + 3] = [12 + 8]
bākūrū bīnāās ná gwɛ̄ gwīnìŋ = 49
これは 12 × 4 + 1 なので ná gwɛ̄ も ná vɛ̀ と同じく「+, and」を表していると分かりました。意味に違いがないとなれば考えられるのは他の要素との関係や音韻条件です。隣の要素を見てみると二つのデータとも ná gwɛ̄ gwīnìŋ が続きます。gwīnìŋ が続くときには ná gwɛ̄ を使うと仮定すると反例なしなので説明完了です。*5bākūrū ʃāābītāt − tàt − kūrū ná gwɛ̄ gwīnìŋ = bākūrū bītāāmà ná vɛ̀ rwīīt ⇔ [12 × 9] − 3 − [12 + 1] = [12 × 7 + 8] これは正しいので ná gwɛ̄ がちゃんと「+, and」であることが裏づけられます。
これで謎はすべて解明できました!
まとめ
この言語は12進法でした。10進法は指で数を数えたことから生まれたのでしょうが, 12進法を使う言語の話者は人差し指から小指までの節を数えているようです。
https://web.archive.org/web/20080329150110/http://www.kankyok.co.jp/nue/nue11/nue11_01.html
すべての言語が10進法であるわけではありません。フランス語のように元は20進法だったものが文化的に強い言語の影響を受けて一部10進数になってしまったものもあります。ここは言語によって色々バリエーションがあって楽しいです。ただ分析するときにはバリエーション豊かだと大変です。何進法か考えないでもできる構造の分析からやり, 構造から何進法か割り出しましょう。
答案をまとめます。
12進法を用いる。
数詞リスト
数詞 | 表す数 |
---|---|
gwīnìŋ | 1 |
bà | 2 |
tàt | 3 |
nààs | 4 |
tùŋūn | 5 |
tìīmìn | 6 |
tàāmà | 7 |
rwīīt | 8 |
ʃāātàt | 9 |
ʃāābà | 10 |
ʃāāgwīnìŋ | 11 |
kūrū | 12 |
- ná gwɛ̄, ná vɛ̀ は + と同様の機能。次の語が gwīnìŋ なら ná gwɛ̄, それ以外なら ná vɛ̀ を使う。
- ʃāā- は「~足りない」という意味で, ʃāā-X で 12̠ − Xを表す。Xには1~3が入る。
構造
1以上143以下の整数について,
- 1~12: 数詞単独
- 12×X (2≦X≦11): X=2~8なら bākūrū bī-X, X=9~11なら bākūrū ʃāābī-X´ (X´はXからʃāāを取ったもの)。このときXの第一音節の声調が中平板になる。
- 12×X+Y (1≦X≦11, 1≦Y≦11): [12 × X] を表す表現に ná gwɛ̄/ná vɛ̀ を挟んでYを表す表現を続ける。
タスク
(a)
- 52 + 3 + 4 = 32
- 34 = 81
- 72 + 9 + 1 = 59
- 91 = 9
- 82 + 2 + 5 = 71
- 25 = 32
- 92 + 4 + 3 = 88
- 43 = 64
- 16 + 21 = 18 + 2 + 17
(b)
- bākūrū bītāt: 36
- ʃāāgwīnìŋ: 11
- kūrū: 12
A. 108 − 3 − 13 = 92
B. 49 − 14 − 15 = 20
(c)
- 6: tìīmìn
- 22: kūrū ná vɛ̀ ʃāābà
- 97: bākūrū bīrwīīt ná gwɛ̄ gwīnìŋ
- 120: bākūrū ʃāābībā
関連記事
*1:IOL2003-2はこの例外ですが問題文で分数が出てくることが明記されています
*2:パーツレベルではありえます。たとえば英語のten, -teen, -tyはすべて同じ10という数を表します。しかしそれでも単に10というときはten, 15はfifteenのように決まっていて15がfiftenともいえるわけではありません。複数の数体系が併用されている場合は一つ一つの数体系の中でのみ通用します
*3:数詞もいくつかのパーツから成り立っています。なのでそのパーツがどう組み合わさっているのかを知ることがキーポイントになります。例えば現代日本語で3桁の数までを考えてみましょう。
数 | 表現 | 例 |
---|---|---|
(0), 1~9, (10) | 特別な語(以下D) | さん |
11~19 | 10-D | じゅう-さん |
2~9×10 | D-10 | に-じゅう |
2~9×10+1~9 | D-10-D | に-じゅう-さん |
10まではそのまま言えばokですが, それ以上は数を組み合わせます。組み合わせの際には10を「ひとかたまり」と意識して, 「二(個の)十(と)三」のように言うわけです。
少し変な振る舞いをするときもあります。
- -D=0 なら -D は言わない(*さん-じゅう-ぜろ > さん-じゅう)
- D=0 なら D-10 は丸ごとなし(*ぜろ-じゅう-に > に)
- D=1 なら D-10 の D- はなし(*いち-じゅう-に > じゅう-に)
さらに大きな数についても考えてみましょう。
数 | 表現 | 例 |
---|---|---|
100 | 100 | ひゃく |
101~199 | 100-D-10-D | ひゃく-に-じゅう-さん |
2~9×100+1~99 | D-100-D-10-D | に-ひゃく-さん-じゅう-よん |
今度は100が「かたまり」として使われるようになりました。このように「かたまり」として使われる数は他に1000, 10000など, つまり10の累乗数です。一かたまりが一かたまりできてしまったので新たに名前を考え出した, というイメージです。それからパターンは繰り返しになっています。一桁の数(「さん」など)の次に「かたまり」(「ひゃく」や「じゅう」)をセットにして言って, そのセット(=位)を数が大きいものから順に繰り返すことで複雑な数を表現しているわけです(なので大きな数は表現が長くなります)。
このブログでは10のような「基本のかたまり」を底(bと略記 < base), 「かたまり」の系列を=底の累乗数(Bと略記), 日本語なら 1~9 にあたるパーツを基本数(Dと略記 < digit)と呼ぶことにします。基本数と底の累乗数のセットを位や桁と呼び, ある位の基本数を係数と名づけます。略記はなるべく避けます。
*4:ʃāābītāt が本当に ʃāātàt に対応しているのかは後々に問題cのAを分析することで確かめられます。
*5:想像の範疇を超えませんがたぶん 「+, and」の意味は ná が担っていて, gwɛ̄ と vɛ̀ は冠詞みたいなもので, 単数につくとき一致して gwɛ̄ になり, 複数なら vɛ̀ になる, ということだと思います。